El término varianza de cartera es un indicador estadístico fundamental dentro de la teoría moderna de selección de carteras (MTP). Su función principal es medir la dispersión de los rendimientos de un conjunto de activos respecto a su media.
En términos sencillos: la varianza determina el riesgo total de la cartera. No solo considera el riesgo individual de cada acción o bono, sino cómo estos interactúan entre sí. Se calcula a partir del promedio ponderado de las variancias individuales y la covarianza (o correlación) entre los activos.
La fórmula de la varianza de cartera
Para entender cómo se distribuye el riesgo, utilizamos fórmulas matemáticas que varían según el número de activos que compongan nuestra inversión.
1. Cartera de dos activos
Para una cartera básica compuesta por dos activos, la fórmula se expresa de la siguiente manera:
Donde:
- wi: Peso o proporción del activo i en la cartera total.
- sigmai^2: Varianza individual del activo i.
- rho{i,j}: Coeficiente de correlación entre el activo i y el activo j.
- sigmai: Desviación estándar del activo i.
2. Cartera de tres activos
A medida que añadimos activos, la fórmula se expande para capturar todas las relaciones posibles entre ellos:
(Nota: En esta versión hemos simplificado la visualización usando la Covarianza).
Explicación de la fórmula de variación de cartera
La fórmula de variación de cartera de una cartera particular se puede derivar mediante los siguientes pasos:
Paso 1: En primer lugar, determine el peso de cada activo en la cartera general y se calcula dividiendo el valor del activo por el valor total de la cartera. El peso del i ésimo activo se denota por w i .
Paso 2: A continuación, determine la desviación estándar de cada activo y se calcula sobre la base del rendimiento medio y real de cada activo. La desviación estándar del i ésimo activo se denota por ơ i . El cuadrado de la desviación estándar es la varianza, es decir, ơ i 2 .
Paso 3: A continuación, determine la correlación entre los activos y básicamente captura el movimiento de cada activo en relación con otro activo. La correlación se denota por ρ.
Paso 4: Finalmente, la fórmula de varianza de la cartera de dos activos se deriva de un promedio ponderado de varianza individual y covarianza mutua como se muestra a continuación.
Fórmula de variación de cartera = w 1 * ơ 1 2 + w 2 * ơ 2 2 + 2 * ρ 1,2 * w 1 * w 2 * ơ 1 * ơ 2
Tomemos el ejemplo de una cartera que consta de dos acciones. El valor de la acción A es de $ 60,000 y su desviación estándar es del 15%, mientras que el valor de la acción B es de $ 90,000 y su desviación estándar es del 10%. Existe una correlación de 0,85 entre las dos acciones. Determina la varianza.
Dado,
- La desviación estándar del stock A, ơ A = 15%
- La desviación estándar del stock B, ơ B = 10%
Correlación, ρ A, B = 0.85
A continuación se muestran los datos para el cálculo de la varianza de la cartera de dos acciones.
Peso de las existencias A, w A = $ 60,000 / ($ 60,000 + $ 90,000) * 100%
Peso del stock A = 40% o 0.40
Peso de las existencias B, w B = $ 90,000 / ($ 60,000 + $ 90,000) * 100%
Peso de las existencias B = 60% o 0.60
Por lo tanto, el cálculo de la varianza de la cartera será el siguiente,
Varianza = w A 2 * ơ A 2 + w B 2 * ơ B 2 + 2 * ρ A, B * w A * w B * ơ A * ơ B
= 0.4 ^ 2 * (0.15) 2 + 0.6 ^ 2 * (0.10) 2 + 2 * 0.85 * 0.4 * 0.6 * 0.15 * 0.10
Por lo tanto, la varianza es 1.33%.
Relevancia y aplicación práctica: ¿Para qué sirve calcular la varianza?
La verdadera potencia de la varianza de cartera reside en un fenómeno matemático: la varianza total suele ser menor que el promedio simple de las varianzas individuales. Esto sucede gracias al ajuste por covarianza. Si los activos de tu cartera no se mueven exactamente de la misma forma al mismo tiempo, el riesgo global se reduce. En términos financieros, esto significa que una cartera bien diversificada ofrece un camino más suave (menos volátil) que invertir en un solo activo.
1. La teoría moderna de carteras y la diversificación
La comprensión de esta fórmula es el pilar de la gestión de activos moderna. Se basa en una premisa sencilla: el inversor racional busca maximizar el rendimiento minimizando el riesgo.
Para lograrlo, se utilizan activos con correlación baja o negativa. Por ejemplo:
- Si la Acción A baja, pero la Acción B sube o se mantiene estable, la varianza de la cartera se amortigua.
- Al combinar activos que no están correlacionados, el riesgo individual se "diluye" en el conjunto.
2. La Frontera Eficiente
El objetivo final de calcular la varianza es alcanzar la Frontera Eficiente. Este concepto representa el nivel más bajo de riesgo (volatilidad) para un objetivo de rendimiento específico.
Dato clave:
Un activo que parece muy arriesgado por sí solo puede ser una excelente adición a una cartera si su comportamiento es opuesto al de los demás activos, ya que ayudará a reducir la varianza global.
3. Varianza vs. Desviación Estándar
Aunque la varianza es la herramienta de cálculo, en el día a día los inversores prefieren hablar de Desviación Estándar.
- La desviación estándar es simplemente la raíz cuadrada de la varianza.
- Se utiliza con más frecuencia porque se expresa en las mismas unidades que el rendimiento (porcentaje), lo que facilita su interpretación.
Si los datos de rendimiento están muy dispersos respecto a la media, la varianza será alta, lo que indica un riesgo sistémico o específico mayor en tu estrategia de inversión.
